我国数学古书《孙子算经》中有过这样的一道题：今有物，不知其数，三三数之，剩二；五五数之，剩三；七七数之，剩二。问物几何？

这道古题与民间传说一则故事——“韩信点兵”中间题是一样的。

秦韩末年，楚汉相争。一次，韩信将1500名将士与楚王大将李峰交战。苦战一役后，伤亡四百余人，休整后，再战，楚军有不足五百骑追来，韩信点兵迎敌。他命令士兵三人一排，结果多2名；接着命令士兵5人一排，结果多出3名；他又命令士兵7人一排，结果又多出2名。韩信马上向士兵们宣布：我军有1073名勇士，敌人不足五百人，于是士气大振，应战不久，楚军大败而逃。

韩信是怎样神算出1073名士兵呢？不得而知，但后人作了大量研究梅花易数起卦数能整除，研究成果对数学做出了巨大贡献。

十六世纪，数学家程大位在他所著的《算法统宗》中用歌诀给出一种解法：

三人同行七十稀，五树梅花廿一枝，七子团圆正半月，除百零五便得知

歌诀的前三句给出了三组数，后一句给出了一个数：3,70；5,21；7,15；105，前三组数的共同特征是：70除以3余1，除5,7余0；21除以5余1，除以3,7余0；15除以7余1，除以3,5余0.

2×70满足原题第一个余数条件，且被5,7整除；

3×21满足原题第二个余数条件，且被2,7整除；

2×15满足原题第三个余数条件，且被3梅花易数起卦数能整除，5整除。

统统相加的和：N=2×70+3×21+2×15=233，N满足原题所有三个余数条件，但N 不是最小的。歌诀最后一句：“除百零五便得知”里的“除”的意思是“减”， 意即从233中减去3,5,7的公信数，即233－3 ×5×7×2=23，这个23就是问题的最小数。由于韩信点的兵在1000~1500之间，应该是105×10+

23=1073人。

真正从完整的计算程序和理论上解决这个问题的，是南宋时期的数学家秦九韶，秦九韶在他的《数书九章》中提出了一个数学方法“大衍求一术”，“大衍求一术”其计算程序核心问题是要“求一”。所谓“求一”，通俗地说就是求“一个数的多少倍除以另一个数，所得余数为一”。那么为什么要求“求一”呢？秦九韶在《数书九章》把它转化为一次同余式组，并形成了解决一次同余式组问题的系统化的数学理论。在西方，直到十九世纪初，德国数学家高斯在《算术探究》一书中，才提出解决这类问题的方法—剩余定理，并给出了严格证明，被后人称为“高斯定理”。1852年英国基督教士伟烈亚力向欧洲介绍了《孙子算经》的“物不知数”和秦九韶的“大衍求一术”，并指出它实质上与高斯定理是一致的。从此，中国古代数学的这一创造逐渐受到世界学者的瞩目，并在西方数学史著作中正式被称为“中国剩余定理”，为我国和世界数学史增添了光彩。

把中国剩余定理译成数论术语就是：已知m1、、m2、m3是两两互质的正整数，求最小的正整数x，使它被m1、、m2、m3除所得余数分别为a1、a2、a3。则先分别找出被其中mi除余1而被另二数整除的数bi（i=1,2,3）,再求数a1b1+a2b2+a3b3便是一个解，然后将上面得数减去m1、、m2、m3的整数倍（0,1,2…）即得最小正整数x。

上面定理的表述是为方便或忠于《孙子算经》，我们只写出含三个余数的情形，其实，这个定理对n个余数是通用的，下面举几例。

问题一：有一个数，除以3余2，除以4余1，问这个数除以12余几？

解：根据中国剩余定理，先找到被4整除，而被3除余1的数显然是4，再找到被3整除的，而被4除以1的数应该是9，由2×4＋1×9=17，所以17是其中一个解，17÷12=1…5，因此这个数除以12余5。5是这个问题的最小解。

问题二：一个数被3除余1，被4除余2，被5除余4，这个数最小是几？

解：根据中国剩余定理，第一步“求一”，先找到除以3余1，而被4,5整除的整数，20不是，40满足，同样，找到除以4余1，而被3、5整除的整数，15、30不是，45满足；找到除以5余1，而被3、4整除的整数，12、24不是，36满足。

第二步，找到同时满足三个条件的整数，40×1＋45×2＋36×4=274,274同时满足三个条件，但不是最小的。第三步，从274中减去3、4、5的倍数，由3×4×5=60，因此从274中可以减去60的4倍，274－60×4=34，故这个数最小为34.

问题三：一个班分组做游戏，如果每组3人就多2人，每组5人就多3人，每组7人就多4人，问这个班有多少学生？

解：根据中国剩余定理，先 “求一”，得出一组数：70，21，15，再求得同时满足三个条件的一个解，70×2＋21×3＋15×4=263，最后，根据一个班人数实际情况，从263减去3、5、7的倍数得263－3×5×7×2=53，所以这个班有53名学生。

中国剩余定理除本身的重要性外，它还提示人们，要解决复杂的问题，最好把它分解为几个易解的子问题，把问题各个不相同的条件化成标准的条件，然后用标准的、统一的方法去处理，这是很重要的数学思想。